Question

2．在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=1-na_n（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）由（1）猜想出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1，2，3計算a₁，a₂，a₃的值；
（2）驗(yàn)證n=1，假設(shè)n=k猜想成立，根據(jù)條件和a_k+1=S_k+1-S_k計算a_k+1．

解答 解：（1）n=1時，a₁=1-a₁，∴a₁=$\frac{1}{2}$，
n=2時，$\frac{1}{2}$+a₂=1-2a₂，∴a₂=$\frac{1}{6}$，
n=3時，$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+$a₃=1-3a₃，∴a₃=$\frac{1}{12}$．
（2）猜想${a_n}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}$．
①當(dāng)n=1時，${a_1}=\frac{1}{2}$，猜想成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時，猜想成立，即${a_k}=\frac{1}{{k（{k+1}）}}$
則當(dāng)n=k+1時，a_k+1=S_k+1-S_k=1-（k+1）a_k+1-（1-ka_k）
所以（k+2）a_k+1=ka_k，則${a_{k+1}}=\frac{k}{{k（{k+1}）（{k+2}）}}=\frac{1}{{（{k+1}）（{k+2}）}}$
即當(dāng)n=k+1時猜想也成立．
綜合①②可知對于一切n∈N⁸，${a_n}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}$都成立．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題．