分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的零點即可;
(2)求出g(x)的表達(dá)式,根據(jù)直線AB的斜率k=y2−y1x2−x1,得到g′(x1+x22)=y2−y1x2−x1,即alnx2+1x1+1=2a(x2−x1)x1+x2+2,通過討論a=0和a≠0,從而確定滿足題意的a的值即可.
解答 解:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=(x+2)ln(x+1)-2x,
則f′(x)=ln(x+1)+1x+1-1,
記h(x)=ln(x+1)+1x+1-1,
則h′(x)=x(x+1)2≥0,即x≥0,
從而,h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,0)上單調(diào)遞減,
則h(x)≥h(0)=0,即f′(x)≥0恒成立,
故f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,無單調(diào)遞減區(qū)間,
又f(0)=0,則0為唯一零點.
(2)由題意知g(x)=f(x)+x2-ln(x+1)=2aln(x+1)+x2-2x,
則g′(x)=2ax+1+2x-2,
直線AB的斜率k=y2−y1x2−x1,則有:g′(x1+x22)=y2−y1x2−x1,
即2ax1+x22+1+2•x1+x22-2=[2aln(x2+1)+x22−2x2]−[2aln(x1+1)+x12−2x1]x2−x1,
即4ax1+x2+2+x1+x2-2=2alnx2+1x1+1x2−x1+x2+x1-2,
即2ax1+x2+2=alnx2+1x1+1x2−x1,即alnx2+1x1+1=2a(x2−x1)x1+x2+2,①
當(dāng)a=0時,①式恒成立,滿足條件;
當(dāng)a≠0時,①式得lnx2+1x1+1=2•x2−x1x1+x2+2=2•x2+1x1+1−1x2+1x1+1+1,②
記t=x2+1x1+1-1,不妨設(shè)x2>x1,則t>0,②式得ln(t+1)=2tt+2.③
由(1)問可知,方程③在(0,+∞)上無零點.
綜上,滿足條件的實數(shù)a=0.
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.
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A. | 若 m∥n,m⊥α,n⊥β,則α∥β | B. | 若m∥α,α∩β=n,則m∥n | ||
C. | 若m⊥α,α∥β,則m⊥β | D. | 若m⊥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 0 |
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A. | (0,1e) | B. | (0,1) | C. | (1,e] | D. | (1e,1) |
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貨物 | 體積(m3/箱) | 重量(50kg/箱) | 利潤(百元/箱) |
甲 | 5 | 2 | 20 |
乙 | 4 | 5 | 10 |
托運(yùn)限制 | 24 | 13 |
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