Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+2a）ln（x+1）-2x，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及所有零點(diǎn)；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）為函數(shù)g（x）=f（x）+x²-xln（x+1）圖象上的三個(gè)不同點(diǎn)，且x₁+x₂=2x₃．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)g（x）在點(diǎn)C處的切線與直線AB平行？若存在，求出所有滿足條件的實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的零點(diǎn)即可；
（2）求出g（x）的表達(dá)式，根據(jù)直線AB的斜率k=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，得到g′（$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$）=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，即aln$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{1}+1}$=$\frac{2a{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{x}_{1}{+x}_{2}+2}$，通過(guò)討論a=0和a≠0，從而確定滿足題意的a的值即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x+2）ln（x+1）-2x，
則f′（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1，
記h（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1，
則h′（x）=$\frac{x}{{（x+1）}^{2}}$≥0，即x≥0，
從而，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，0）上單調(diào)遞減，
則h（x）≥h（0）=0，即f′（x）≥0恒成立，
故f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間，
又f（0）=0，則0為唯一零點(diǎn)．
（2）由題意知g（x）=f（x）+x²-ln（x+1）=2aln（x+1）+x²-2x，
則g′（x）=$\frac{2a}{x+1}$+2x-2，
直線AB的斜率k=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，則有：g′（$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$）=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，
即$\frac{2a}{\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}+1}$+2•$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$-2=$\frac{[2aln{（x}_{2}+1）{{+x}_{2}}^{2}-{2x}_{2}]-[2aln{（x}_{1}+1）{{+x}_{1}}^{2}-{2x}_{1}]}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，
即$\frac{4a}{{{x}_{1}+x}_{2}+2}$+x₁+x₂-2=$\frac{2aln\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{1}+1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$+x₂+x₁-2，
即$\frac{2a}{{{x}_{1}+x}_{2}+2}$=$\frac{aln\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{1}+1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，即aln$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{1}+1}$=$\frac{2a{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{x}_{1}{+x}_{2}+2}$，①
當(dāng)a=0時(shí)，①式恒成立，滿足條件；
當(dāng)a≠0時(shí)，①式得ln$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{1}+1}$=2•$\frac{{{x}_{2}-x}_{1}}{{{x}_{1}+x}_{2}+2}$=2•$\frac{\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{1}+1}-1}{\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{1}+1}+1}$，②
記t=$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{1}+1}$-1，不妨設(shè)x₂＞x₁，則t＞0，②式得ln（t+1）=$\frac{2t}{t+2}$．③
由（1）問(wèn)可知，方程③在（0，+∞）上無(wú)零點(diǎn)．
綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)a=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．