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6.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+2a)ln(x+1)-2x,a∈R.
(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及所有零點;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)為函數(shù)g(x)=f(x)+x2-xln(x+1)圖象上的三個不同點,且x1+x2=2x3.問:是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)g(x)在點C處的切線與直線AB平行?若存在,求出所有滿足條件的實數(shù)a的值;若不存在,請說明理由.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的零點即可;
(2)求出g(x)的表達(dá)式,根據(jù)直線AB的斜率k=y2y1x2x1,得到g′(x1+x22)=y2y1x2x1,即alnx2+1x1+1=2ax2x1x1+x2+2,通過討論a=0和a≠0,從而確定滿足題意的a的值即可.

解答 解:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=(x+2)ln(x+1)-2x,
則f′(x)=ln(x+1)+1x+1-1,
記h(x)=ln(x+1)+1x+1-1,
則h′(x)=xx+12≥0,即x≥0,
從而,h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,0)上單調(diào)遞減,
則h(x)≥h(0)=0,即f′(x)≥0恒成立,
故f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,無單調(diào)遞減區(qū)間,
又f(0)=0,則0為唯一零點.
(2)由題意知g(x)=f(x)+x2-ln(x+1)=2aln(x+1)+x2-2x,
則g′(x)=2ax+1+2x-2,
直線AB的斜率k=y2y1x2x1,則有:g′(x1+x22)=y2y1x2x1,
2ax1+x22+1+2•x1+x22-2=[2alnx2+1+x222x2][2alnx1+1+x122x1]x2x1,
4ax1+x2+2+x1+x2-2=2alnx2+1x1+1x2x1+x2+x1-2,
2ax1+x2+2=alnx2+1x1+1x2x1,即alnx2+1x1+1=2ax2x1x1+x2+2,①
當(dāng)a=0時,①式恒成立,滿足條件;
當(dāng)a≠0時,①式得lnx2+1x1+1=2•x2x1x1+x2+2=2•x2+1x1+11x2+1x1+1+1,②
記t=x2+1x1+1-1,不妨設(shè)x2>x1,則t>0,②式得ln(t+1)=2tt+2.③
由(1)問可知,方程③在(0,+∞)上無零點.
綜上,滿足條件的實數(shù)a=0.

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.

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