Question

設(shè)x²+y²=2的切線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于點A、B，當|AB|取最小值時，切線l的方程為（ ）
A．x-y-2=0
B．y-x-2=0
C．x+y-2=0
D．y±x-2=0

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出直線方程，由直線與圓相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，化簡可得a與b的關(guān)系式，利用此關(guān)系式把|AB|²進行變形，利用基本不等式求出|AB|²的最小值，且得到取最小值時a與b的值，把此時a與b的值代入所設(shè)的方程中，即可確定出切線的方程．
解答：解：設(shè)A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
則切線的方程為
∵圓x²+y²=2的圓心坐標為（0，0），半徑r=，l與圓相切，
∴圓心到直線的距離d==
∴
∴ab≥4，當且僅當a=b時取等號
∴|AB|==≥2
∴|AB|的最小值為2，此時a=b=2，切線方程為x+y-2=0．
故選C．
點評：本題考查圓的切線方程，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．