Question

對負(fù)實(shí)數(shù)a，數(shù)4a+3，7a+7，a²+8a+3依次成等差數(shù)列
（1）求a的值；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=aⁿ⁺¹-2a_n（n∈N₊），a₁=m，求a_n的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，若對任意n∈N₊，不等式a_2n+1＜a_2n-1恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)?a+3，7a+7，a²+8a+3依次成等差數(shù)列，所以7a+7-（4a+3）=a²+8a+3-（ 7a+7 ），從而可構(gòu)建一元二次方程a²-2a-8=0，故可求a的值；
（2）a_n+1=（-2）ⁿ⁺¹-2a_n（n∈N₊），兩邊同除以（-2）ⁿ⁺¹得：

an+1

(-2)n+1

-

an

(-2)n

=1，所以{

an

(-2)n

}是以-

m

2

為首項(xiàng)，d=1為公差的等差數(shù)列，故可求a_n的通項(xiàng)公式；
（3）由于對任意n∈N₊，不等式a_2n+1＜a_2n-1恒成立，利用（2）的結(jié)論可得m＞

12n+4

3

，從而得解．

解答：解：（1）因?yàn)?a+3，7a+7，a²+8a+3依次成等差數(shù)列，
所以7a+7-（4a+3）=a²+8a+3-（ 7a+7 ），
化簡成一個一元二次方程a²-2a-8=0∴a=4或者a=-2
∵a＜0，∴a=-2；
（2）∵a_n+1=（-2）ⁿ⁺¹-2a_n（n∈N₊），
∴兩邊同除以（-2）ⁿ⁺¹得：

an+1

(-2)n+1

-

an

(-2)n

=1
所以{

an

(-2)n

}是以-

m

2

為首項(xiàng)，d=1為公差的等差數(shù)列
∴an=(-

m

2

+n-1)×(-2)n；
（3）∵對任意n∈N₊，不等式a_2n+1＜a_2n-1恒成立
∴m＜

12n+4

3

∴m＜

16

3

點(diǎn)評：本題以數(shù)列為依托，考查等差數(shù)列，考查數(shù)列遞推式，關(guān)鍵是構(gòu)建數(shù)列，從而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列進(jìn)行解決．