Question

若x＞0，y＞0，x+y＞2，求證：

1+x

y

＜2，

1+y

x

＜2至少有一個成立．

Answer 1

分析：運用反證法，假設(shè)

1+x

y

＜2，

1+y

x

＜2均不成立，則

1+x

y

≥2，

1+y

x

≥2，從而可得x+y≤2，這和已知條件x+y＞2相矛盾，即可得到結(jié)論．

解答：證明：假設(shè)

1+x

y

＜2，

1+y

x

＜2均不成立，則

1+x

y

≥2，

1+y

x

≥2，
∴1+x≥2y，1+y≥2x，
∴1+x+1+y≥2y+2x，
∴x+y≤2，這和已知條件x+y＞2相矛盾，所以假設(shè)不成立，
∴原命題成立．

點評：本題考查不等式的證明，考查反證法的運用，正確引出矛盾是關(guān)鍵．