Question

選考題部分
（1）（選修4-4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)）（本小題滿分7分）
在極坐標(biāo)系中，過曲線L：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）外的一點(diǎn)A(2

5

，π+θ)（其中tanθ=2，θ為銳角）作平行于θ=

π

4

(ρ∈R)的直線l與曲線分別交于B，C．
（Ⅰ） 寫出曲線L和直線l的普通方程（以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比數(shù)列，求a的值．
（2）（選修4-5 不等式證明選講）（本小題滿分7分）
已知正實(shí)數(shù)a、b、c滿足條件a+b+c=3，
（Ⅰ） 求證：

a

+

b

+

c

≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

Answer 1

分析：（1）（I）根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)系下的普通方程的互化公式可求曲線方程及直線方程
（II）寫出直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)），代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，則有t1+t2=2

2

(4+a)，t1•t2=8(4+a)，因?yàn)閨BC|²=|AB|•|AC|，代入可求a的值；
（2）（Ⅰ）由柯西不等式得(

a

+

b

+

c

)2≤(a+b+c)(1+1+1)，代入a+b+c=3，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）由a+b≥2

ab

，a+b+c=3得2

ab

+c≤3，根據(jù)c=ab，可得2

c

+c≤3，從而可求c的最大值1．

解答：選考題部分
（1）參數(shù)方程與極坐標(biāo)
解：（Ⅰ）∵曲線L：ρsin²θ=2acosθ，∴ρ²sin²θ=2aρcosθ，∴y²=2ax，
∵點(diǎn)A(2

5

，π+θ)（其中tanθ=2，θ為銳角）
∴A（-2，-4）
∵直線l平行于θ=

π

4

(ρ∈R)
∴直線L的方程為y=x-2（3分）
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)），代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，
則有t1+t2=2

2

(4+a)，t1•t2=8(4+a)
因?yàn)閨BC|²=|AB|•|AC|，所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1•t2=t1•t2
解得 a=1（7分）
（2）（Ⅰ）由柯西不等式得(

a

+

b

+

c

)2≤(a+b+c)(1+1+1)
∵a+b+c=3，
∴(

a

+

b

+

c

)2≤9
∴

a

+

b

+

c

≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1，取等號(hào)
（Ⅱ）由a+b≥2

ab

，a+b+c=3得2

ab

+c≤3
若c=ab，則2

c

+c≤3，即(

c

+3)(

c

-1)≤0
∴

c

≤1，∴c≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，c有最大值1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，直線與曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查柯西不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是要熟練應(yīng)用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化．