Question

在直三棱柱（側(cè)棱垂直底面）ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°．
（Ⅰ）若異面直線A₁B與B₁C₁所成的角為60°，求棱柱的高；
（Ⅱ）設(shè)D是BB₁的中點，DC₁與平面A₁BC₁所成的角為θ，當(dāng)棱柱的高變化時，求sinθ的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，設(shè)AA₁=h，則可得B、B₁、C₁、A₁各點的坐標，得到向量、、的坐標，然后根據(jù)異面直線A₁B與B₁C₁所成的角60°，結(jié)合空間向量夾角公式建立關(guān)于h的方程，解之可得h=1，即得該棱柱的高；
（II）根據(jù)（I）所建立的坐標系，可得，從而有，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出是平面平面A₁BC₁的一個法向量，再用直線與平面所成角的定義得與夾角的余弦值等于sinθ，由此建立sinθ關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求最值即可得到：當(dāng)且僅當(dāng)時，sinθ取到最大值．由此即可得到sinθ的最大值．
解答：解：分別以AB、AC、AA₁為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，
設(shè)AA₁=h（h＞0），則有B（1，0，0），B₁（1，0，h），C₁（0，1，h），A₁（0，0，h），
，，…（2分）
（Ⅰ）∵異面直線A₁B與B₁C₁所成的角60°，
∴，即，
得，解得h=1，即得該棱柱的高為1．（6分）
（Ⅱ）∵D是BB₁的中點，得，
∴可得．
設(shè)平面A₁BC₁的法向量為，于是，，
可得，即，可取，（8分）
于是．
而=．
令，（10分）
∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．
∴，
故當(dāng)時，sinθ的最大值．（12分）
點評：本題給出直三棱柱，在已知上下底面為等腰直角三角形且異面直線所成角為60度的情況下求棱柱的高，并討論直線所平面所成角的正弦值．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和利用空間向量研究直線與平面所成角等知識，屬于中檔題．