Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸長為4，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為其左、右焦點，拋物線y²=-4x的焦點為F₁．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過焦點F₁的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，求△F₂PQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）拋物線y²=4x的焦點為（1，0）即c=1，再利用橢圓定義，求出2a，得出a，可求得橢圓C的方程；
（II）設(shè)直線l方程為：x=my-1，將直線的方程代入橢圓的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得△F₂PQ面積值，最后利用求函數(shù)的最大值，從而解決問題．

解答：解：（Ⅰ）由拋物線y²=-4x的焦點為F₁（-1，0）可知c=1，
∵2a=4∴a=2，∴b²=a²-c²=3
所以橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1 …（4分）
（Ⅱ）因為過點F₁（-1，0）的直線與橢圓C交于P，Q兩點，
可設(shè)直線l方程為：x=my-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

x=my-1 x2 4 + y2 3 =1

，得（4+3m²）y²-6my-9=0，∴

y1+y2= 6m 3m2+4 y1y2=- 9 3m2+4

所以S △F1PQ=

1

2

|F₁F₂||y₁-y₂|=

12 m2+1

3m2+4

，
令

m2+1

=t，則t≥1，所以S △F1PQ=

12

3t+ 1 t

而3t+

1

t

在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以S △F1PQ=

12

3t+ 1 t

≤3，當(dāng)t=1時取等號，
即當(dāng)m=0時，△F₂PQ的面積最大值為3…（8分）

點評：本題考查圓錐曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)．屬于直線與圓錐曲線的綜合問題．