Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點為 ， 是橢圓上一點，若 ， ．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l過右焦點 （不與x軸重合）且與橢圓相交于不同的兩點A，B，在x軸上是否存在一個定點P（x0 ， 0），使得 的值為定值？若存在，寫出P點的坐標(biāo)（不必求出定值）；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意橢圓的焦點在x軸上， （a＞b＞0），

c= ，| |2+| |2=（2c）2=20，| || |=8

∴（| |+| |）2=| |2+| |2+2| || |=36 解得：| |+| |=6，

2a=6，則a=3 b2=a2﹣c2=4

∴橢圓的方程為：

（2）解：解法一：設(shè)直線l的方程為：x=my+ ，

，并消元整理得：（4m2+9）x2﹣18 x+45﹣36m2=0，…①

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則是方程①的兩個解，由韋達(dá)定理得：

x1+x2= ，x1x2= ，y1y2= （x1﹣ ）（x2﹣ ）= （ x1x2﹣ （x1+x2）+5）=﹣ ，

=（x1﹣x0，y1）（x2﹣x0，y2）=（ x1﹣x0）（ x2﹣x0）+y1y2=x1x2﹣x0（x1+x2）+x02+y1y2

= ﹣ ×x0+x02+（﹣ ）= ，

令 =t 則（4x02﹣36）m2+9x02﹣18 x0+29=t（4m2+9），

比較系數(shù)得：4x02﹣36=4t且9x02﹣18 x0+29=9t 消去t得：36x02﹣36×9=36x02﹣72 x0+29×4 解得：x0= ，

∴在x軸上存在一個定點P（ ，0），使得 的值為定值（﹣ ）；

解法二：當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)直線l方程為：y=k（x﹣ ），代入橢圓方程并消元整理得：

（9k2+4）x2﹣18 k2x+45k2﹣36=0…①

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則是方程①的兩個解，由韋達(dá)定理得：

x1+x2= ，x1x2= ，

y1y2=k2（x1﹣ ）（x2﹣ ）=k2（ x1x2﹣ （x1+x2）+5）=﹣ ，

=（x1﹣x0，y1）（x2﹣x0，y2）=（ x1﹣x0）（ x2﹣x0）+y1y2=x1x2﹣x0（x1+x2）+x02+y1y2，

= ，

令 =t 則（9x02﹣18 x0+29）k2+4x02﹣36=t（4+9k2），

9x02﹣18 x0+29=9 t且 4x02﹣36=4t，

解得：x0= ，此時t的值為﹣ ，

當(dāng)直線l與x軸垂直時，l的方程為：x= ，代入橢圓方程解得：A（ ，﹣ ），B（ ， ），

=（﹣ ，﹣ ）（﹣ ， ）= ﹣ =﹣ ，

∴當(dāng)直線l與x軸垂直時， 也為定值﹣ ，

綜上，在x軸上存在一個定點P（ ，0），使得 的值為定值（﹣ ）

【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義及勾股定理即可求得a=3，c= ，b2=a2﹣c2=4，即可求得橢圓方程；（2）方法一：設(shè)直線l：x=my+ ，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算， =t 則（4x02﹣36）m2+9x02﹣18 x0+29=t（4m2+9），比較系數(shù)，即可求得x0= ，在x軸上存在一個定點P（ ，0），使得 的值為定值（﹣ ）； 方法二：分類討論，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l：y=k（x﹣ ），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，令 =t 則（9x02﹣18 x0+29）k2+4x02﹣36=t（4+9k2），9x02﹣18 x0+29=9 t且4x02﹣36=4t，即可求得x0= ，此時t的值為﹣ ．