Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）²，g（x）=alnx．
（1）若兩曲線y=f（x）與y=g（x）在x=2處的切線互相垂直，求a的值，并判斷函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)性并寫出其單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)?(x)=af(x)+

g(x)

a

的圖象與直線y=x至少有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩曲線y=f（x）與y=g（x）在x=2處的切線互相垂直，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線的斜率求出a值，再利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由于?（x）=af(x)+

g(x)

a

=a(x-1)2+lnx，令h（x）=?（x）-x，由題意得h（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上至少有一解，下面利用導(dǎo)數(shù)工具結(jié)合分類討論思想研究此函數(shù)的單調(diào)性，最后綜合得出a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意：g′（x）=

a

x

，∴g（x）的圖象在x=2切線的斜率為：g′（2）=

a

2

，
又f′（x）=2（x-1），∴f（x）的圖象在x=2切線的斜率為：f′（2）=2，
由兩曲線y=f（x）與y=g（x）在x=2處的切線互相垂直得：

a

2

×2=-1，∴a=-1，
∴F（x）=f（x）-g（x）=（x-1）²+lnx，（x＞0）
∴F′（x）=2x+

1

x

-2≥2

2

-2＞0
即函數(shù)F（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
（2）?（x）=af(x)+

g(x)

a

=a(x-1)2+lnx
令h（x）=?（x）-x，由題意得h（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上至少有一解，h′(x)=

(2ax-1)(x-1)

x

，令h'（x）=0，得x1=

1

2a

，x2=1
①當(dāng)

1

2a

＜0即a＜0時(shí)，h（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞），
所以h（x）_max=h（1）=-1＜0，所以方程h（x）=0無(wú)解．
②當(dāng)

1

2a

＞1即0＜a＜

1

2

時(shí)，h（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（

1

2a

，+∞)，減區(qū)間為（1，

1

2a

），所以極大值h（1）=-1，極小值h(

1

2a

)＜0，
又h（x）=a(x-1)2+lnx-x=a(x-1-

1

2a

)2+lnx-

1

4a

-1
∴h(2+

1

a

)=a(1+

1

2a

)2+ln(2+

1

a

)-1-

1

4a

=a+ln(2+

1

a

)＞0，所以方程恰好有一解；
③當(dāng)a=

1

2

時(shí)，h'（x）≥0，由上②知方程也恰好有一解；
④當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，h（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1

2a

），（1，+∞），減區(qū)間為（

1

2a

，1），
同上可得方程h（x）=0在（0，+∞）上至少有一解．
綜上所述，所求a的取值范圍為（0，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，注意利用導(dǎo)數(shù)工具的應(yīng)用．