Question

2．$\int_{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}^{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}{\sqrt{1-{x^2}}dx}$=$\frac{3\sqrt{3}+4π}{12}$．

Answer 1

分析 由$\int_{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}^{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}{\sqrt{1-{x^2}}dx}$=2${∫}_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx，${∫}_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示三角形AOB及扇形AOC的面積之和，分別求得其面積..

解答 解：由定積分的性質可知：$\int_{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}^{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}{\sqrt{1-{x^2}}dx}$=2${∫}_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx，
定積分的幾何意義可知：${∫}_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示三角形AOB及扇形AOC的面積之和，
則三角形AOB的面S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
扇形AOC的面積S₂=$\frac{60}{360}$×π×1²=$\frac{1}{6}$×π×1²=$\frac{π}{6}$
$\int_{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}^{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}{\sqrt{1-{x^2}}dx}$=2${∫}_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=2（$\frac{\sqrt{3}}{8}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}+4π}{12}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}+4π}{12}$．

點評 本題考查定義的幾何意義，考查計算能力，屬于中檔題．