Question

（2012•湘潭三模）國家助學(xué)貸款是由財(cái)政貼息的信用貸款，旨在幫助高校家庭經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生支付在校學(xué)習(xí)期間所需的學(xué)費(fèi)、住宿費(fèi)及生活費(fèi)．每一年度申請(qǐng)總額不超過6000元．某大學(xué)2010屆畢業(yè)生王某在本科期間共申請(qǐng)了24000元助學(xué)貸款，并承諾在畢業(yè)后3年內(nèi)（按36個(gè)月計(jì)）全部還清．
簽約的單位提供的工資標(biāo)準(zhǔn)為第一年內(nèi)每月1500元，第13個(gè)月開始，每月工資比前一個(gè)月增加5%直到4000元．王某計(jì)劃前12個(gè)月每個(gè)月還款額為500，第13個(gè)月開始，每月還款額比前一月多x元．
（Ⅰ）用x和n表示王某第n個(gè)月的還款額a_n；
（Ⅱ）若王某恰好在第36個(gè)月（即畢業(yè)后三年）還清貸款，求x的值；
（Ⅱ）當(dāng)x=40時(shí)，王某將在第幾個(gè)月還清最后一筆貸款？他當(dāng)月工資的余額是否能滿足每月3000元的基本生活費(fèi)？
（參考數(shù)據(jù)：1.05¹⁸=2.406，1.05¹⁹=2.526，1.05²⁰=2.653，1.05²¹=2.786）

Answer 1

分析：（I）根據(jù)王某計(jì)劃前12個(gè)月每個(gè)月還款額為500，第13個(gè)月開始，每月還款額比前一月多x元，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）前12個(gè)月還款額是常數(shù)列，后二十四個(gè)月每月還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，用數(shù)列公式求和，使和為24000，建立方程．解出每月應(yīng)多還的數(shù)額．
（Ⅲ）前12個(gè)月還款額是常數(shù)列，后n-12個(gè)月每月還款額構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為500，公差為50的等差數(shù)列，用數(shù)列公式求和，使和不小于24000，建立不等式，解出n的范圍，取最小整數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）∵王某計(jì)劃前12個(gè)月每個(gè)月還款額為500，第13個(gè)月開始，每月還款額比前一月多x元．
∴an=

500(1≤n≤12，n∈N*) 500+(n-12)x(13≤n≤36，n∈N*)

（Ⅱ）依題意，從第13個(gè)月開始，每個(gè)月的還款額為a_n構(gòu)成等差數(shù)列，其中a₁=500+x，公差為x．
從而，到第36個(gè)月，王某共還款12×500+24a₁+

24×(24-1)

2

•x
令12×500+24×（500+x）+

24×(24-1)

2

•x=24000，解之得x=20（元）．
即要使在三年全部還清，第13個(gè)月起每個(gè)月必須比上一個(gè)月多還20元．
（Ⅲ）設(shè)王某第n個(gè)月還清，則應(yīng)有12×500+(500+40)×(n-12)+

(n-12)(n-12-1)

2

•40≥24000
整理可得n²+2n-1068=0，解之得n≥-1+

1069

＞-1+32=31，取n=32．
即王某工作32個(gè)月就可以還清貸款．
這個(gè)月王某的還款額為24000-[12×500+(500+40)×(31-12)+

(31-12)×(31-12-1)

2

•40]=900（元）
第32個(gè)月王某的工資為1500×1.05²⁰=1500×2.653=3979.5元．
因此，王某的剩余工資為3979.5-900=3079.5，能夠滿足當(dāng)月的基本生活需求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列模型，考查等差數(shù)列求和公式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，構(gòu)建數(shù)列模型．