定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：如果對任意x1，x2∈R，都有≤［f(x1)+f(x2)］，則稱函數(shù)f(x)是R上的凹函數(shù).已知函數(shù)f(x)＝ax2+x(a∈R且a≠0)，

    (1)求證：當a＞0時，函數(shù)f(x)是凹函數(shù)；

    (2)如果x∈［0，1］時，│f(x)│≤1，求實數(shù)a的范圍.

 

答案：
解析：

答案：(1)證明：對任意x1、x2∈R，∵a＞0，

    ∴f(x1)+f(x2)－

    =ax12+x1+ax22+x2－2［+］

    =a(x1－x2)2≥0.

    ∴≤［f(x1)+f(x2)］，

    ∴f(x)是凹函數(shù).

    (2)解：由│f(x)│≤1－1≤f(x)≤1－1≤ax2＋x≤1.( * )

    當x＝0時，a∈R;

    當x∈(0，1)時，由( * )得

    恒成立.

    當x∈(0，1]時，≥1.當時，取最大值－2;

    同時(－)2－取最小值0，∴－2≤a≤0.

    ∵a≠0，∴－2≤a＜0.

 


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f（x）的最小正周期是π，且當x∈[0，
π
2
]時，f（x）=sinx，則f（
5π
3
）的值為
 
．

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20、已知定義在R上的函數(shù)f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函數(shù)F（x）=f（x）-3x2是奇函數(shù)，函數(shù)f（x）在x=-1處取極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論f（x）在區(qū)間[-3，3]上的單調(diào)性．

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定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
，當x∈（0，4）時，f（x）=x2-1，則f（2010）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
），最大值與最小值的差為4，相鄰兩個最低點之間距離為π，函數(shù)y=sin（2x+
π
3
）圖象所有對稱中心都在f（x）圖象的對稱軸上．
（1）求f（x）的表達式；    
（2）若f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），求cos（x0-
π
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應值表：
x 0 1 2 3
f（x） 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函數(shù)f（x）一定存在零點的區(qū)間是（　�。�

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