Question

如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長是2，D是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在棱BB₁上，且BM=B₁M，又CM⊥AC₁．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-ADC₁體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明A₁B∥平面AC₁D，只需證明DE∥A₁B，利用三角形的中位線的性質(zhì)可證；
（Ⅱ）先證明∠CDC₁與∠MCB互余，利用BM=B₁M，底面邊長是2，求AA₁的長，利用三棱錐B₁-ADC₁體積等于三棱錐A-B₁DC₁體積，即可求得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)E，連接DE，則DE是△A₁BC的中位線，
∴DE∥A₁B，又DE?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
∴A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）解：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是棱BC的中點(diǎn)，則AD⊥平面BCC₁B₁，∴AD⊥MC，
∵CM⊥AC₁，AC₁∩AD=A
∴CM⊥平面AC₁D
∴CM⊥C₁D，∴∠CDC₁與∠MCB互余
∴tan∠CDC₁與tan∠MCB互為倒數(shù)
∵BM=B₁M，底面邊長是2
∴AA₁=2
連接B₁D，則S_△B1C1D=2
∵AD⊥平面DC₁B₁，AD=
∴三棱錐B₁-ADC₁體積等于三棱錐A-B₁DC₁體積=×2×=
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查三棱錐的體積，解題的關(guān)鍵是利用線面平行的判定定理，利用轉(zhuǎn)換底面求體積．