Question

已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列b₁＝1，b₁＋b₂＋…＋b₁₀＝145．

(1)求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n；

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n＝log_a(1＋)(a>0且a≠1)，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，試比較S_n與log_ab_n＋1大小，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，由題意得 ，bn＝3n－2 (2)Sn＝loga(1＋1)＋loga(1＋)＋…＋loga(1＋) ＝loga［(1＋1)(1＋)…(1＋)］ logabn＋1＝loga(3n＋1)＝loga 因此要比較Sn與logabn＋1的大小，只需比較(1＋1)(1＋)…(1＋)與的大小即可． 當(dāng)n＝1時(shí)，1＋1＝2>＝． n＝2時(shí)(1＋1)(1＋)＝> n＝3時(shí)(1＋1)(1＋)(1＋)＝>． 由此推測(cè)(1＋1)(1＋)…(1＋)>，(1) 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)已驗(yàn)證． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)(1)式成立 即(1＋1)(1＋)…(1＋)> 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)(1＋1)(1＋)…(1＋)［1＋］>(1＋)＝(3k＋2) ∵［(3k＋2)］3－()3＝>0 ∴(3k＋2)> ＝ (1＋1)(1＋)…(1＋)(1＋)> 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(1)式成立． 由(1)、(2)知對(duì)于任意正整數(shù)都成立． 當(dāng)a>1時(shí)，Sn>logabn＋1，當(dāng)0<a<1時(shí)，Sn<logabn＋1．

提示：

通過(guò)令n＝1，2，3求出a2，a3，a4由此歸納出an再用數(shù)學(xué)歸納法證明．