Question

側(cè)棱長(zhǎng)為2

3

a的正三棱錐V-ABC的側(cè)棱間的夾角為40°，過(guò)頂點(diǎn)A作截面AEF，截面AEF的最小周長(zhǎng)為（　�。�

• A．2

  2

  a
• B．6a
• C．4a
• D．12

  3

  a

Answer 1

分析：畫出幾何體的圖形，推出截面周長(zhǎng)最小值的情形，確定展開圖的有關(guān)的角，利用余弦定理求出距離即可．

解答：解：如圖三棱錐以及側(cè)面展開圖，要求截面AEF的周長(zhǎng)最小，就是側(cè)面展開圖中AG的距離，
因?yàn)閭?cè)棱長(zhǎng)為2

3

a的正三棱錐V-ABC的側(cè)棱間的夾角為40°，∠AVG=120°，
所以由余弦定理可知AG²=VA²+VG²-2VA•VGcos120°
=(2

3

a)2+(2

3

a)2- 2×2

3

a×2

3

a×(-

1

2

)
=3(2

3

a)2．
AG=6a．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查幾何體的側(cè)面展開圖距離的最小值問(wèn)題，余弦定理的應(yīng)用，考查空間想象能力，計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．