Question

設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：第一問考查函數(shù)的奇偶性，用特殊值法判斷函數(shù)及不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；第二問是求最值的題目，先判斷函數(shù)的單調(diào)性再求最值．

解答：解：（1）當a=0時，函數(shù)f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x）
此時，f（x）為偶函數(shù)
當a≠0時，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a）
此時f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)
（2）①當x≤a時，f(x)=x2-x+a+1=(x-

1

2

)2+a+

3

4

當a≤

1

2

，則函數(shù)f（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減，從而函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（a）=a²+1．
若a＞

1

2

，則函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為f(

1

2

)=

3

4

+a，且f(

1

2

)≤f(a)．
②當x≥a時，函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+

1

2

)2-a+

3

4

若a≤-

1

2

，則函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為f(-

1

2

)=

3

4

-a，且f(-

1

2

)≤f(a)
若a＞-

1

2

，則函數(shù)f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（a）=a²+1．
綜上，當a≤-

1

2

時，函數(shù)f（x）的最小值為

3

4

-a
當-

1

2

＜a≤

1

2

時，函數(shù)f（x）的最小值為a²+1
當a＞

1

2

時，函數(shù)f（x）的最小值為

3

4

+a．

點評：本題為函數(shù)的最值和奇偶性的考查；是高考常考的知識點之一；而求最值時需要注意的是先判斷函數(shù)的單調(diào)性．