Question

已知函數(shù)，設(shè)其值域是M，
（1）求函數(shù)f（x）的值域M；
（2）若函數(shù)g（x）=4^x-2^1+x-m在M內(nèi)有零點，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)u=8-2x-x²，則由8-2x-x²＞0，可得-4＜x＜2…（2分）
則u=8-2x-x²=9-（x+1）²∈（0，9]，…（4分）
∴y=log₃u∈（-∞，2]，即函數(shù)f（x）的值域M=（-∞，2]…（6分）
（2）∵當x∈（-∞，2]時，有t=2^x∈（0，4]，
又4^x-2^1+x=（2^x）²-2•2^x=t²-2t…（8分）
∴函數(shù)g（x）=4^x-2^1+x-m在M內(nèi)有零點等價于關(guān)于t的方程：m=t²-2t在（0，4]內(nèi)有解，…（10分）
而t²-2t=（t-1）²-1∈[-1，8]
∴m∈[-1，8]…（12分）
分析：（1）確定函數(shù)的定義域，從而確定真數(shù)的范圍，即可求得函數(shù)的值域；
（2）當x∈（-∞，2]時，有t=2^x∈（0，4]，函數(shù)g（x）=4^x-2^1+x-m在M內(nèi)有零點等價于關(guān)于t的方程：m=t²-2t在（0，4]內(nèi)有解，求出函數(shù)的值域，即可求m的取值范圍．
點評：本題考查復合函數(shù)的值域，考查函數(shù)的零點，考查學生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．