Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和記為S_n且Sn=2n2+4n設數(shù)列{b_n}的前n項和為Tn且bn=

2

an(2n-1)

（1）求a_n；
（2）求T_n；
（3）設函數(shù)f（x）=-x²+4x，是否存在實數(shù)λ使得當x≤λ時，f(x)≤

an

n+1

對任意n∈N^*恒成立，若存在，求出λ的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=2n2+4n，利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出a_n．
（2）由a_n=4n+2，數(shù)列{b_n}的前n項和為Tn且bn=

2

an(2n-1)

，知b_n=

2

(4n+2)(2n-1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此利用裂項求和法能求出T_n．
（3）假設存在實數(shù)λ，使得當x≤λ時，f(x)≤

an

n+1

對任意n∈N^*恒成立，即-x²+4x≤

an

n+1

對任意n∈N^*恒成立，由

an

n+1

=

4n+2

n+1

=4-

2

n+1

是遞增數(shù)列，能推導出存在最大的實數(shù)λ=1，使得當x≤λ時，f（x）≤c_n對任意n∈N^*恒成立．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=2n2+4n，
∴a₁=S₁=2+4=6，
a_n=S_n-S_n-1=（2n²+4n）-[2（n-1）²+4（n-1）]
=4n+2．
當n=1時，4n+2=6=a₁，
∴a_n=4n+2．
（2）∵a_n=4n+2，數(shù)列{b_n}的前n項和為Tn且bn=

2

an(2n-1)

，
∴b_n=

2

(4n+2)(2n-1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．
（3）假設存在實數(shù)λ，使得當x≤λ時，f(x)≤

an

n+1

對任意n∈N^*恒成立，
即-x²+4x≤

an

n+1

對任意n∈N^*恒成立，
∵a_n=4n+2，
∴

an

n+1

=

4n+2

n+1

=4-

2

n+1

是遞增數(shù)列，
所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，
解得x≤1或x≥3．
所以存在最大的實數(shù)λ=1，使得當x≤λ時，f（x）≤c_n對任意n∈N^*恒成立．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，考查數(shù)列不等式的應用，解題時要認真審題，注意裂項求和法和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．