Question

1．等差數列{a_n}滿足a₅=14，a₇=20，數列{b_n}的前n項和為S_n，且b_n=2-2S_n
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）證明：數列{b_n}是等比數列，并求其通項公式．

Answer 1

分析 （I）設等差數列{a_n}的公差為d，由a₅=14，a₇=20，可得a₁+4d=14，a₁+6d=20，解得a₁，d，即可得出通項公式．
（II）b_n=2-2S_n，可得b₁=2-2b₁，解得b₁．n≥2時，b_n-1=2-2S_n-1，可得b_n-b_n-1=-2b_n，化為b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1．利用等比數列的定義通項公式即可得出．

解答 （I）解：設等差數列{a_n}的公差為d，∵a₅=14，a₇=20，
∴a₁+4d=14，a₁+6d=20，解得a₁=2，d=3．
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（II）證明：∵b_n=2-2S_n，∴b₁=2-2b₁，解得b₁=$\frac{2}{3}$．
n≥2時，b_n-1=2-2S_n-1，∴b_n-b_n-1=-2b_n，化為b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1．
∴數列{b_n}是等比數列，首項為$\frac{2}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$．
∴b_n=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=2×$（\frac{1}{3}）^{n}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的定義及其通項公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．