若∠B=60°，O為△ABC的外心，點(diǎn)P在△ABC所在的平面上，
OP
=
OA
+
OB
+
OC
，且
BP
•
BC
=8，則邊AC上的高h(yuǎn)的最大值為
2
3
2
3
．
分析：根據(jù)題意，得點(diǎn)P是△ABC的垂心，從而
AP
•
BC
=0，將
BP
•
BC
化簡為
BA
•
BC
=8，結(jié)合∠B=60°算出
|BA|
•
|BC|
和三角形ABC的面積．利用余弦定理，算出當(dāng)且僅當(dāng)
|BA|
=
|BC|
=4時(shí)，
|AC|
有最小值為4，結(jié)合三角形面積為4
3
，可得AC上的高h(yuǎn)的最大值為2
3
．
解答：解：∵O為△ABC的外心，
OP
=
OA
+
OB
+
OC
，
∴點(diǎn)P是△ABC的垂心，即P是三條高線的交點(diǎn)
∴
BP
•
BC
=（
BA
+
AP
）
BC
=8
∵
AP
•
BC
=0，∴
BA
•
BC
=8
∵∠B=60°，∴
|BA|
•
|BC|
cos60°=8，得
|BA|
•
|BC|
=16
根據(jù)正弦定理的面積公式，得S△ABC=
1
2
|BA|
•
|BC|
sin60°=4
3

∵
|AC|
2=
|BA|
2+
|BC|
2-2
|BA|
•
|BC|
cos60°=
|BA|
2+
|BC|
2-16
|BA|
2+
|BC|
2≥2
|BA|
•
|BC|
=32
∴
|AC|
2≥16，得當(dāng)且僅當(dāng)
|BA|
=
|BC|
=4時(shí)，
|AC|
有最小值為4
∵S△ABC=
1
2
|AC|
•h=4
3
，h是邊AC上的高
∴h≤
8
3
|AC|
=2
3
，當(dāng)且僅當(dāng)
|BA|
=
|BC|
=
|AC|
=4時(shí)，邊AC上的高h(yuǎn)的最大值為2
3

故答案為：2
3
點(diǎn)評(píng)：本題在△ABC中，已知一個(gè)角和兩邊長度之積，求另一邊上高的最大值，著重考查了三角形外心與垂直的聯(lián)系、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和正余弦定理等知識(shí)，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線x=b交雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1(a＞0，b＜0)于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠AOB=60°，則此雙曲線的漸近線方程是（　�。�
A、y=±
6
B、y=±
6
6
x
C、y=±
2
x
D、y=±
2
2
x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=
6
，AD=2，BC=
3
2
，∠ADC=60°，O為四棱錐P-ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AO=1，
若DO與平面PCD成角最小角為α，則α=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•婺城區(qū)模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為PB上任意一點(diǎn)．
（I）證明：平面EAC⊥平面PBD；
（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B-AE-C的大小為45°，求PD：AD的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

若∠B=60°，O為△ABC的外心，點(diǎn)P在△ABC所在的平面上，數(shù)學(xué)公式=數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式，且數(shù)學(xué)公式•數(shù)學(xué)公式=8，則邊AC上的高h(yuǎn)的最大值為________．

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