Question

4．已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax²-x+a（a∈R）在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．
（1）求a的取值范圍．
（2）設(shè)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，證明x₁x₂＞e²．

Answer 1

分析 （1）由導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系知可轉(zhuǎn)化為方程f′（x）=lnx-ax=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同根；再轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，或轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=$\frac{lnx}{x}$與函數(shù)y=-2a的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)； 從而求解；
（2）要證明x₁x₂＞e²．只需證明lnx₁+lnx₂＞2
?-2a（x₁+x₂）＞2，?$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x₁+x₂）＞2，即只需證明$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=t$，則t＞1，只需證明$lnt＞\frac{2（t-1）}{t+1}$，
設(shè)g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$  （t＞1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證出結(jié)論即可

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=xlnx+ax²-x+a（a∈R）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=lnx+2ax．
∵函數(shù)f（x）=xlnx+ax²-x+a（a∈R）在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．∴方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同根；
轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=$\frac{lnx}{x}$與函數(shù)y=-2a的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
又g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，即0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0，x＞e時(shí)，g′（x）＜0，
故g（x）在（0，e）上單調(diào)增，在（e，+∞）上單調(diào)減．故g（x）_極大=g（e）=$\frac{1}{e}$．
又g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1，且在x→0時(shí)，g（x）→-∞，在在x→+∞時(shí)，g（x）→0，
故g（x）的草圖如右圖，
∴0$＜-2a＜\frac{1}{e}$，即-$\frac{1}{2e}＜a＜0$．故a的取值范圍為（-$\frac{1}{2e}，0$）．
（2）由（Ⅰ）可知x₁，x₂分別是方程lnx-ax=0的兩個(gè)根，
      即lnx₁=-2ax₁，lnx₂=-2ax₂，
設(shè)x₁＞x₂，作差得$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2a（{x}_{1}-{x}_{2}）$．得-2a=$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．
要證明x₁x₂＞e²．只需證明lnx₁+lnx₂＞2
?-2a（x₁+x₂）＞2，?$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x₁+x₂）＞2，即只需證明$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=t$，則t＞1，只需證明$lnt＞\frac{2（t-1）}{t+1}$，
設(shè)g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$  （t＞1），$g′（t）=\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）}＞0$．
∴函數(shù)g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（t）＞g（1）=0，故$lnt＞\frac{2（t-1）}{t+1}$成立．
∴x₁x₂＞e²成立．

點(diǎn)評(píng) 題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用，屬于難題．