Question

已知a，b，c為互不相等的三個(gè)正數(shù)，函數(shù)f（x）可能滿足如下性質(zhì)：
①f（x-a）為奇函數(shù)；②f（x+a）為奇函數(shù)；③f（x-b）為偶函數(shù)；④f（x+b）為偶函數(shù)．
類比函數(shù)y=sinx的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸與周期的關(guān)系，某同學(xué)得出了如下結(jié)論：
（1）若滿足①②，則f（x）的一個(gè)周期為4a；（2）若滿足①③，則f（x）的一個(gè)周期為4|a-b|；（3）若滿足③④，則f（x）的一個(gè)周期為3|a-b|．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，我們可得當(dāng)f（x-a）為奇函數(shù)時(shí)，f（-x-a）=-f（x-a）；當(dāng)f（x+a）為奇函數(shù)時(shí)，f（-x+a）=-f（x+a）；當(dāng)f（x-b）為偶函數(shù)時(shí)，f（-x-b）=f（x-b）；當(dāng)f（x+b）為偶函數(shù)時(shí)，f（-x+b）=f（x+b）．進(jìn)而逐一判斷3個(gè)結(jié)論是否正確，可得答案．
解答：解：若f（x-a）為奇函數(shù)，且f（x+a）為奇函數(shù)，
∴f（x+4a）=f（x+3a+a）=-f（-x-3a+a）=-f（-x-2a）=-f（-x-a-a）=f（x+a-a）=f（x）
故f（x）滿足①②時(shí)，f（x）的一個(gè)周期為4a；
若f（x-a）為奇函數(shù)，f（x-b）為偶函數(shù)，不妨令a＞b
則f（x+4a-4b）=f（x+4a-3b-b）=f（-x-4a+3b）=f（-x-3a+3b-a）=-f（x+3a-3b）=f（x+2a-2b）=-f（x+a-b）=f（x）
故f（x）滿足①③時(shí)，則f（x）的一個(gè)周期為4|a-b|；
若f（x-b）為偶函數(shù)，f（x+b）為偶函數(shù)，則f（x）的一個(gè)周期為4b，3|a-b|不一定是函數(shù)的周期
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的周期性，其中正確理解函數(shù)奇偶性與周期性的定義是解答的關(guān)鍵．