Question

5．如果函數(shù)f（x）的對于任意實數(shù)x，存在常數(shù)M，使不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，就稱f（x）為有界泛函數(shù)．下列四個函數(shù)，屬于有界泛函數(shù)的是（　　）
①f（x）=1②f（x）=x²③f（x）=（sinx+cosx）x④$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+x+1}}$．

• A． ①②
• B． ②④
• C． ③④
• D． ①③

Answer 1

分析 根據(jù)有界泛函數(shù)的定義，逐個驗證，對于①取x=0，即可說明①不是有界泛函數(shù)；對于②采取反證法，f（x）=x²是有界泛函數(shù)，則x²≤M|x|，取x=M+1，得到矛盾，因此②不是有界泛函數(shù)；對于③利用三角函數(shù)的有界性即可證明③是有界泛函數(shù)；對于④求函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$的最大值即可證明④是有界泛函數(shù)；從而得到選項．

解答 解：函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，存在常數(shù)M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就稱函數(shù)f（x）為有界泛函數(shù)，
∴①取x=0，則|f（x）|=1，|x|=0，故不存在常數(shù)M，使得不等式|f（x）|≤M|x|成立，因此①不是有界泛函數(shù)；
②若f（x）=x²是有界泛函數(shù)，則x²≤M|x|，取x=M+1，則有（M+1）²＞M（M+1），故與假設(shè)矛盾，因此②不是有界泛函數(shù)；
③f（x）=（sinx+cosx）x≤$\sqrt{2}$|x|，故③是有界泛函數(shù)；
④f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$≤$\frac{4}{3}$|x|，故④是有界泛函數(shù)；
故選C．

點評 此題是個中檔題．考查函數(shù)恒成立問題，以及三角函數(shù)的有界性和二次函數(shù)配方法求最值等基礎(chǔ)知識，同時考查了學(xué)生的閱讀能力，對題意的理解和轉(zhuǎn)化能力，以及靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力．