Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n＝n·2^n－1(n∈N^*)，是否存在等差數(shù)列{b_n}，使a_n＝b₁C＋b₂C＋b₃C＋…＋b_nC對(duì)一切正整數(shù)n成立？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

　假設(shè)等差數(shù)列{b_n}使等式n·2^n－1＝b₁C＋b₂C＋b₃C＋…＋b_nC對(duì)一切正整數(shù)n成立，

當(dāng)n＝1時(shí)，得1＝b₁C，∴b₁＝1，當(dāng)n＝2時(shí)，得4＝b₁C＋b₂C，∴b₂＝2，當(dāng)n＝3時(shí)，得12＝b₁C＋b₂C＋b₃C，∴b₃＝3，可猜想b_n＝n時(shí)，n·2^n－1＝C＋2C＋3C＋…＋nC.

∵kC＝k·

＝n·＝nC.

∴C＋2C＋3C＋…＋nC＝n(C＋C＋…＋C)＝n·2^n－1.故存在等差數(shù)列{b_n}(b_n＝n)，使已知等式對(duì)一切n∈N^*成立．