在不等邊△ABC中,設(shè)A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知sin2A,sin2B,sin2C依次成等差數(shù)列,給定數(shù)列
cosA
a
,
cosB
b
,
cosC
c

(1)試根據(jù)下列選項(xiàng)作出判斷,并在括號(hào)內(nèi)填上你認(rèn)為是正確選項(xiàng)的代號(hào)
B
B

A.是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列  B.是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列
C.既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列  D.既非等比數(shù)列也非等差數(shù)列
(2)證明你的判斷.
分析:(1)因?yàn)閟in2A、sin3B、sin2C成等差數(shù)列,所以2sin2B=sin2A+sin2C,所以2b2=a2+c2.結(jié)合斜弦定理,從而得出正確選項(xiàng)即可;
(2)根據(jù)條件sin2A、sin3B、sin2C成等差數(shù)列,利用正弦定理得出三角形邊的關(guān)系式,又結(jié)合余弦定理化簡(jiǎn)
cosB
b
=
a2+c2-b2
2abc
,
cosA
a
=
b2+c2-a2
2abc
cosC
c
=
a2+b2-c2
2abc
.從而得出即
cosA
a
、
cosB
b
、
cosC
c
成等差數(shù)列.下面利用反證法證明不是等比數(shù)列,先假設(shè)其為等比數(shù)列,經(jīng)過推理得出與題設(shè)矛盾.
解答:解:(1)因?yàn)閟in2A、sin3B、sin2C成等差數(shù)列,所以2sin2B=sin2A+sin2C,
所以2b2=a2+c2
故選:B.
(2)因?yàn)閟in2A、sin3B、sin2C成等差數(shù)列,所以2sin2B=sin2A+sin2C,
所以2b2=a2+c2.又
cosB
b
=
a2+c2-b2
2abc
,
cosA
a
=
b2+c2-a2
2abc
,
cosC
c
=
a2+b2-c2
2abc

顯然
2cosB
b
=
cosA
a
+
cosC
c
,
cosA
a
、
cosB
b
、
cosC
c
成等差數(shù)列.
若其為等比數(shù)列,有
cosA
a
=
cosB
b
=
cosC
c
,
所以tanA=tanB=tanC,A=B=C,與題設(shè)矛盾.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用、數(shù)列與三角函數(shù)的綜合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查反證明法思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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在不等邊△ABC中,設(shè)A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知,,依次成等差數(shù)列,給定數(shù)列,,

(1)試根據(jù)下列選項(xiàng)作出判斷,并在括號(hào)內(nèi)填上你認(rèn)為是正確選項(xiàng)的代號(hào)(。

     A.是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列  B.是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列

     C.既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列  D.既非等比數(shù)列也非等差數(shù)列

(2)證明你的判斷.

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在不等邊△ABC中,為最大邊,如果,則A的取值范圍是(   )

                                     

 

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