Question

函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+

1

2

ax2-2ax+2a+80的圖象經(jīng)過四個象限，則a的取值范圍是

（-96，-15）

．

Answer 1

分析：首先討論a=0時原函數(shù)圖象的情況，當a≠0時，求出原函數(shù)的導函數(shù)，分a＞0和a＜0兩種情況討論原函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值點并求解極值，當a＞0時，要使原函數(shù)的圖象經(jīng)過四個象限，需要極大值大于0，且極小值小于0，此時a的值不存在；當a＜0時，要使原函數(shù)的圖象經(jīng)過四個象限，則需要極小值小于0，且極大值大于0，由此解得a的取值范圍．

解答：解：由f(x)=

1

3

ax3+

1

2

ax2-2ax+2a+80，
若a=0時，原函數(shù)化為f（x）=80．為常數(shù)函數(shù)，不合題意；
f^′（x）=ax²+ax-2a=a（x²+x-2）=a（x+2）（x-1）．
若a＞0時，當x∈（-∞，-2），x∈（1，+∞）時有f^′（x）＞0，
函數(shù)f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上為增函數(shù)．
當x∈（-2，1）時，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-2，1）上為減函數(shù)．
所以函數(shù)f（x）在x=-2時取得極大值f(-2)=-

8

3

a+2a+4a+2a+80=80+

16

3

a．
函數(shù)f（x）在x=1時取得極小值f(1)=

1

3

a+

1

2

a-2a+2a+80=80+

5

6

a．
因為函數(shù)的圖象先增后減再增，要使函數(shù)的圖象經(jīng)過四個象限，
則

f(-2)=80+ 16 3 a＞0① f(1)=80+ 5 6 a＜0  ②

，解①得：a＞-15．解②得：a＜-96．
此時a∈∅；
若a＜0，當x∈（-∞，-2），x∈（1，+∞）時有f^′（x）＜0，
函數(shù)f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上為減函數(shù)．
當x∈（-2，1）時，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-2，1）上為增函數(shù)．
所以函數(shù)f（x）在x=-2時取得極小值f(-2)=-

8

3

a+2a+4a+2a+80=80+

16

3

a．
函數(shù)f（x）在x=1時取得極大值f(1)=

1

3

a+

1

2

a-2a+2a+80=80+

5

6

a．
為函數(shù)的圖象先減后增再減，要使函數(shù)的圖象經(jīng)過四個象限，
則

f(-2)=80+ 16 3 a＜0 f(1)=80+ 5 6 a＞0

，解得-96＜a＜-15．
所以使函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+

1

2

ax2-2ax+2a+80的圖象經(jīng)過四個象限的a的取值范圍是（-96，-15）．
故答案為（-96，-15）．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了函數(shù)的極值與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，思考該問題時考慮數(shù)與形的結(jié)合，屬中檔題．