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給出下列結論：
①當x≥2時，x+
1
x-1
的最小值是3；
②當0＜x≤2時，2x+2-x存在最大值；
③若m∈（0，1]，則函數y=m+
3
m
的最小值為2
3
；
④當x＞1時，lgx+
1
lgx
≥2．
其中一定成立的結論序號是
①②④
①②④
（把成立的序號都填上）．
分析：變形利用基本不等式和利用導數研究函數的單調性即可得出．
解答：解：①當x≥2時，x+
1
x-1
=x-1+
1
x-1
+1≥2
(x-1)•
1
x-1
+1=3，當且僅當x=2時取等號，∴x+
1
x-1
的最小值是3；
②令f（x）=2x+2-x，則f′（x）=2xln2-2-xln2=ln2(2x-
1
2x
)≥0，∴函數f（x）單調遞增，∴當x=2時，函數f（x）取得最大值4+
1
4
=
17
4
，因此正確．
③若m∈（0，1]，∵y′=1-
3
m2
=
m2-3
m2
＜0，因此函數y=m+
3
m
單調遞減，∴函數f（x）最小值為1+
3
1
=4，因此不正確；
④當x＞1時，lgx0，∴l(xiāng)gx+
1
lgx
≥2
lgx•
1
lgx
=2．當且僅當x=10時取等號．
綜上可知：只有①②④正確．
故答案為①②④．
點評：熟練掌握變形利用基本不等式和利用導數研究函數的單調性是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

給出下列結論：
①當a＜0時，(a2)
3
2
=a3；
②
nan
=|a|（n＞1，n∈N?，n為偶數）；
③函數f（x）=(x-2)
1
2
-（3x-7）0的定義域是{x|x≥2且x≠{x|x≥2且x≠
7
3
}；
④若2x=16，3y=
1
27
，則x+y=7．
其中正確的是（　　）
A、①②B、②③C、③④D、②④

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在[1，+∞）上的函數f（x）=
4-8|x-
3
2
|，1≤x≤2
1
2
f(
x
2
)，x＞2
．給出下列結論：
①函數f（x）的值域為[0，4]；
②關于x的方程f(x)=(
1
2
)n(n∈N*)有2n+4個不相等的實數根；
③當x∈[2n-1，2n]（n∈N*）時，函數f（x）的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S=2；
④存在x0∈[1，8]，使得不等式x0f（x0）＞6成立，
其中你認為正確的所有結論的序號為
①③
①③
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

給出下列結論：①y=1是冪函數；    
②定義在R上的奇函數y=f（x）滿足f（0）=0
③函數f(x)=lg(x+
x2+1
)是奇函數  
④當a＜0時，(a2)
3
2
=a3
⑤函數y=1的零點有2個；
其中正確結論的序號是
②③
②③
（寫出所有正確結論的編號）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域是（0，+∞）的函數f（x）滿足；
（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；
（2）當x∈（1，3]時，f（x）=3-x．給出下列結論：
①對任意m∈Z，有f（3m）=0；
②函數f（x）的值域為[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（3n+1）=0；
④“函數f（x）在區(qū)間（a，b）上單調遞減”的充要條件是“?k∈Z，使得（a，b）⊆（3k，3k+1）．”
其中正確結論的序號是
 
．

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科目：高中數學 來源：吉林省實驗中學2012屆高三第六次模擬考試數學理科試題 題型：022

已知定義在[1，＋∞)上的函數f(x)＝．給出下列結論：

①函數f(x)的值域為[0，4]；

②關于x的方程f(x)＝()n(n∈N*)有2n＋4個不相等的實數根；

③當x∈[2n－1，2n](n∈N*)時，函數f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝2；

④存在x0∈[1，8]，使得不等式x0f(x0)＞6成立，

其中你認為正確的所有結論的序號為________．

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