設(shè)f(x)＝lnx－(x≥1)，g(x)＝2(x－1)－(x2＋1)lnx(x≥1)．

(1)求證f(x)和g(x)在[1，＋∞)上均為減函數(shù)；

(2)設(shè)b＞1，證明不等式．

答案：
解析：

　　解：證明(1)f(x)＝lnx－(x≥1)，

　　

　　≤0．

　　∴f(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)．

　　g(x)＝2(x－1)－(x2＋1)lnx

　　(x)＝2－[2xlnx＋(x2＋1)·]＝－2xlnx－

　　＝－[2xlnx＋]．

　　當(dāng)x≥1時，2xlnx≥0，＞0，故(x)＜0

　　所以g(x)在[1，＋∞)上也為減函數(shù)．

　　(2)∵b＞1，又∵f(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)，

　　∴f(b)＜f(1)即lnb－＜0，

　　∴．①

　　同理，可得g(b)＜g(1)，即2(b－1)－(b2＋1)lnb＜0，

　　∴＞　②

　　由①②可得＜＜．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：013

設(shè)F(x)＝lnx，f(x)＝1－x2，則函數(shù)g(x)＝F［f(x)］的定義域是(    )

A．(0，＋∞)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．(－∞，＋∞)

C．｛x｜x∈R且x≠±1｝　　　　　　　　　　　　 D．(－1，1)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：013

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A．(0，＋∞)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．(－∞，＋∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（05年湖南卷理）（14分）

    已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.

   （Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

   （Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)圖象C2交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1，C2于點M、N，證明C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年新課標(biāo)高三配套第二次月考數(shù)學(xué)試卷（A）（解析版） 題型：解答題

設(shè)f(x)＝lnx＋－1，證明：

（1）當(dāng)x>1時，f(x)<  (x－1)；

（2）當(dāng)1<x<3時，f(x)< .

 

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