Question

函數(shù)的定義域?yàn)镸，函數(shù)f（x）=4^x+a•2^x+1+2（x∈M）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使函數(shù)有定義，被開(kāi)方數(shù)應(yīng)大于或等于0，解不等式-x²+4x-3≥0 求出M，對(duì)函數(shù)f（x）=4^x+a•2^x+1+2，利用換元法令t=2^x，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決．
（2）f（x）=g（t）=t²+2at+2=（t+a）²+1-a²，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸t=-a，分-a≤2，2＜-a＜8，-a≥8三類求解．
解答：解：（1）要使函數(shù)有定義，則-x²+4x-3≥0即（x-1）（x-3）≤0，1≤x≤3，（1分）
∴M={x|1≤x≤3}．（2分）
當(dāng)a=1時(shí)，令t=2^x，則2≤t≤8，（3分）
f（x）=g（t）=t²+2t+2=（t+1）²+1開(kāi)口向上，對(duì)稱軸t=-1，（4分）
∴g（t）在t∈[2，8]上單調(diào)遞增，
∴g（2）≤g（t）≤g（8）
即10≤g（t）≤82，（6分）
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇10，82]．（7分）
（2）由（1）有，令t=2^x（2≤t≤8），
f（x）=g（t）=t²+2at+2=（t+a）²+1-a²開(kāi)口向上，對(duì)稱軸t=-a（8分）
①當(dāng)-a≤2，即a≥-2時(shí)，g（t）在t∈[2，8]上單調(diào)遞增，∴g（t）_min=g（2）=6+4a（10分）
②當(dāng)2＜-a＜8，即-8＜a＜-2時(shí)，∴g（t）_min=g（-a）=1-a²（12分）
③當(dāng)-a≥8，即a≤-8時(shí)，g（t）在t∈[2，8]上單調(diào)遞減，∴g（t）_min=g（8）=66+16a（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，換元法，分類討論．考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．換元前后要注意新元的取值范圍．