已知橢圓C:的右頂點A(2,0),離心率為,O為坐標(biāo)原點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知P(異于點A)為橢圓C上一個動點,過O作線段AP的垂線l交橢圓C于點E,D,求的取值范圍.

【答案】分析:(Ⅰ)根據(jù)A(2,0)是橢圓C的右頂點,可得a=2,利用,可得,從而b2=a2-c2=4-3=1,故可得橢圓C的方程;
(Ⅱ)當(dāng)直線AP的斜率為0時,可得;當(dāng)直線AP的斜率不為0時,設(shè)出直線AP、DE的方程,分別與橢圓方程聯(lián)立,求出|AP|,|DE|,進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù),即可確定的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)因為 A(2,0)是橢圓C的右頂點,所以a=2.
,所以 
所以 b2=a2-c2=4-3=1.
所以橢圓C的方程為.…(3分)
(Ⅱ)當(dāng)直線AP的斜率為0時,|AP|=4,DE為橢圓C的短軸,則|DE|=2,所以.…(5分)
當(dāng)直線AP的斜率不為0時,設(shè)直線AP的方程為y=k(x-2),P(x,y),
則直線DE的方程為.…(6分)
得x2+4[k(x-2)]2-4=0,即(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0.
所以,所以 .…(8分)
所以 ,即 
類似可求
所以.…(11分)
設(shè),則k2=t2-4,t>2.

,則.所以 g(t)是一個增函數(shù).
所以 
綜上,的取值范圍是.…(13分)
點評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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