Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E點(diǎn)滿足．
（1）證明：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．
（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)F，使得PF∥平面EAC？若存在，確定點(diǎn)F的位置，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

證明：（1）平面PAB?BC⊥PA，
同理CD⊥PA，又CD∩BC=C，所以PA⊥平面ABCD；

（2）在AD上取一點(diǎn)O，使，連接EO，則EO∥PA，
所以EO⊥平面ABCD．
過點(diǎn)O作OH⊥AC交AC于點(diǎn)H，連接EH，則EH⊥AC
所以∠EHO為二面角E-AC-D的平面角．
在△PAD中，；在Rt△AHO中，∠HAO=45°，
所以
所以所求二面角E-AC-D的余弦值為；

（3）當(dāng)F為BC中點(diǎn)時(shí)，PF∥平面EAC，理由如下：設(shè)AC，F(xiàn)D交于點(diǎn)S
因?yàn)锳D∥FC所以又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/155283.png' />所以PF∥ES
因?yàn)镻F?平面EAC，ES?平面EAC，所以PF∥平面EAC．
分析：（1）要證明：PA⊥平面ABCD，需要證明PA⊥BC，PA⊥CD即可．
（2）求二面角E-AC-D的余弦值，利用三垂線定理，EO∥PA，過點(diǎn)O作OH⊥AC交AC于點(diǎn)H，連接EH，作出∠EHO為二面角E-AC-D的平面角，然后解直角三角形．
（3）F為BC中點(diǎn)時(shí)，，使得PF∥平面EAC，利用三角形相似證明PF∥ES即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直或平行的判定，棱錐的體積，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．