Question

設(shè)c，d，x為實(shí)數(shù)，c≠0，x為未知數(shù)，討論方程log(cx+

d

x

)x=-1在什么情況下有解，有解時求出它的解．

Answer 1

分析：先將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1找到方程有根的等價條件后可解題．

解答：解：原方程有解的充要條件是：

x＞0    (1) cx+ d c ＞0  (2) cx+ d c ≠1  (3) (cx+ d c )-1=x   (4)

由條件（4）知x(cx+

d

x

)=1，所以cx²+d=1再由c≠0，可得x2=

1-d

c

.
又由x(cx+

d

x

)=1及x＞0，知cx+

d

x

＞0，
即條件（2）包含在條件（1）及（4）中
再由條件（3）及x(cx+

d

x

)=1，知x≠1
因此，原條件可簡化為以下的等價條件組：

x＞0，(1) x≠1，(5) x2= 1-d c ．(6)

由條件（1）（6）知

1-d

c

＞0.這個不等式僅在以下兩種情形下成立：
①c＞0，1-d＞0，即c＞0，d＜1；
②c＜0，1-d＜0，即c＜0，d＞1、
再由條件（1）（5）及（6）可知c≠1-d
從而，當(dāng)c＞0，d＜1且c≠1-d時，
或者當(dāng)c＜0，d＞1且c≠1-d時，
原方程有解，它的解是x=

1-d c

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)式與指數(shù)式的互化和方程根的判定．屬中檔題．