Question

如圖，在△ABO中，D、C分別在AO，BO邊上，AC，BD交于點(diǎn)M，且AM•MC=BM•MD．
（I）證明：∠1=∠2；
（II）證明：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析：（I）由已知中AM•MC=BM•MD，根據(jù)相似三角形判定定理可得△AMD∽△BMC，進(jìn)而可由對應(yīng)角相等得到答案．
（II）由（I）中結(jié)論，類比可得，∠DAC=∠DBC，同理可證：∠BAC=∠BDC，∠ACD=∠ABD，進(jìn)而根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，得到四邊形對解互補(bǔ)，進(jìn)而得到A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

解答：證明：（I）∵AM•MC=BM•MD．
∴

AM

BM

=

MD

MC

，又∵∠AMD=∠BMC
∴△AMD∽△BMC
∴∠1=∠2；
（II）由（I）知，∠DAC=∠DBC
同理可證：∠BAC=∠BDC，∠ACD=∠ABD
∵∠1+∠2+∠DAC+∠DBC+∠BAC+∠BDC+∠ACD+∠ABD=360°
∴∠2+∠DAC+∠BAC+∠ACD=180°
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的判定，熟練掌握相關(guān)定理是解答的關(guān)鍵．