Question

已知函f（x）=1-2a^x-a^2x（a＞1）
（1）求函f（x）的值域；
（2）若x∈[-2，1]時(shí)，函f（x）的最小值-7，求a的值和函f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先進(jìn)行換元，還原以后寫出新變量t的取值范圍，則函數(shù)變化為關(guān)于t的二次函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的單調(diào)性和值域，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到結(jié)果．
（2）根據(jù)所給的x的范圍，寫出t的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，寫出函數(shù)在定義域上的最值，根據(jù)最小值的結(jié)果，做出a的值，進(jìn)而得到函數(shù)的最大值．

解答：解：設(shè)a^x=t＞0
∴y=-t²-2t+1=-（t+1）²+2
（1）∵t=-1∉（1，+∞）
∴y=-t²-2t+1在（0，+∞）上是減函數(shù)
∴y＜1所以值域?yàn)椋?∞，1）

（2）∵x∈[-2，1]a＞1
∴t∈[

1

a2

，a]由t=-1∉[

1

a2

，a]
∴y=-t²-2t+1在[

1

a2

，a]上是減函數(shù)-a2-2a+1=-7
∴a=2或a=-4（不合題意舍去）
當(dāng)t=

1

a2

=

1

4

時(shí)y有最大值，
即y_max=-（

1

4

）²-2×

1

4

+1=

7

16

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)的定義域，是一個(gè)綜合題目，這種題目可以作為壓軸題目的一部分．