Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-e^-x，g（x）=lg（mx²-x+$\frac{1}{4}$），若對任意x₁∈（-∞，0]，都存在x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂），則實(shí)數(shù)m的最小值為（　�。�

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． -1
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 由題意求出f（x）的值域，再把對任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂）轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）的值域包含f（x）的值域，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式組求解．

解答 解：∵f（x）=e^x-e^-x在（-∞，0]為增函數(shù)，
∴f（x）≤f（0）=0，
∵?x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），
∴g（x）=lg（mx²-x+$\frac{1}{4}$）的值域包含（-∞，0]，
當(dāng)m=0時，g（x）=lg（-x+$\frac{1}{4}$），顯然成立；
當(dāng)m≠0時，要使g（x）=lg（mx²-x+$\frac{1}{4}$）的值域包含（-∞，0]，
則mx²-x+$\frac{1}{4}$的最大值大于等于1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{\frac{4m×\frac{1}{4}-（-1）^{2}}{4m}≥1}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{3}$≤m＜0，
綜上，-$\frac{1}{3}$≤m≤0，
∴實(shí)數(shù)m的最小值-$\frac{1}{3}$
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的值域，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，正確理解題意是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．