Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n與通項(xiàng)a_n之間滿(mǎn)足關(guān)系S_n=

1

2

-

1

2

an
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+L+f（a_n），T_n=

1

b1

+

1

b2

+L+

1

bn

，求T₂₀₁₂
（III）若c_n=a_n•f（a_n），求{c_n}的前n項(xiàng)和a_n．

Answer 1

分析：（I）n=1時(shí)，a₁=S₁，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，由此可得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列，故可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）由已知可得：f（a_n）=-n，則b_n=-

n(n+1)

2

，所以

1

bn

=-2(

1

n

-

1

n+1

），利用疊加法可求T₂₀₁₂的值；
（III）由題意：c_n=a_n•f（a_n）=-n×(

1

3

)n，利用錯(cuò)位相減法可求{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答：解：（I）n=1時(shí)，a₁=S₁=

1

2

-

1

2

a₁，∴a₁=

1

3

                            （1分）
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

-

1

2

an-

1

2

+

1

2

an-1，∴a_n=

1

3

a_n-1，
即數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列                 （3分）
故a_n=(

1

3

)n                                           （4分）
（II）由已知可得：f（a_n）=-n，則b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=-1-2-…-n=-

n(n+1)

2

（5分）
∴

1

bn

=-2(

1

n

-

1

n+1

）                                （6分）
∴T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=-2（1-

1

n+1

）
∴T₂₀₁₂=-

4024

2013

      （8分）
（III）由題意：c_n=a_n•f（a_n）=-n×(

1

3

)n，故{c_n}的前n項(xiàng)和u_n=-[1×(

1

3

)1+2×(

1

3

)2+…+n×(

1

3

)n]①
∴

1

3

u_n=-[1×(

1

3

)2+2×(

1

3

)3+…+n×(

1

3

)n+1]②
①-②可得：

2

3

u_n=-[(

1

3

)1+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-n×(

1

3

)n+1]（12分）
∴

2

3

u_n=-

1

2

[1-(

1

3

)n]+n×(

1

3

)n+1
∴u_n=-

3

4

+

3

4

×(

1

3

)n+

3

2

n×(

1

3

)n+1                      （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，確定數(shù)列的通項(xiàng)，掌握求和的方法是關(guān)鍵．