Question

【題目】已知函數(shù).

(1) 求的單調(diào)區(qū)間；

(2) 討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）求導(dǎo)數(shù)得，當(dāng)時(shí)，則恒成立，故的單調(diào)遞増區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，由得，由得，

故的單調(diào)遞増區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）令，分離參數(shù)得，由于，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，可得在上單調(diào)遞增，在(上單調(diào)遞減，故，所以當(dāng)時(shí)， 有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 有2個(gè)零點(diǎn)．

試題解析：

⑴因?yàn)?/span>，

所以，

①當(dāng)時(shí)，則恒成立，

所以的單調(diào)遞増區(qū)間為，

②當(dāng)時(shí)，

令得，

令得，

所以的單調(diào)遞増區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

綜上：當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞増區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞増區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

(2)令，

所以

因?yàn)?/span>，所以，

所以若，則無零點(diǎn)．

若，令，

則，

故當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減．

所以當(dāng)時(shí)， 有極大值，也為最大值，且，

又當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以當(dāng)時(shí)， 有1個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)， 有2個(gè)零點(diǎn)．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 有2個(gè)零點(diǎn)．