Question

【題目】已知函數(shù) ，g（x）=b（x+1），其中a≠0，b≠0
（1）若a=b，討論F（x）=f（x）﹣g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知函數(shù)f（x）的曲線與函數(shù)g（x）的曲線有兩個交點，設(shè)兩個交點的橫坐標(biāo)分別為x1 ， x2 ， 證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得 ，

∴ ，

當(dāng)0＜x＜1時，∵1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，∴1﹣x2﹣lnx＞0，；

當(dāng)x＞1時，∵1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，∴1﹣x2﹣lnx＜0．

故若a＞0，F(xiàn)（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；

故若a＜0，F(xiàn)（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增

（2）解：不妨設(shè)x1＞x2，依題意 ，

∴ ，同理得

由①﹣②得，∴ ，

∴ ，

∴ ，

故只需證 ，

取∴ ，即只需證明 成立，

即只需證 成立，

∵ ，

∴p（t）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴p（t）＞p（1）=0，t＞1成立，

故原命題得證

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可（2）問題轉(zhuǎn)化為證 ， ，只需證明 成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．