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已知函數f(x)=2
3
sin(x-3π)sin(x-
π
2
)+2sin2(x+
5π
2
)-1，x∈R
（1）求函數f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，
π
2
]上的最大值和最小值；
（2）若f(x0)=
6
5
，x0∈[
π
4
，
π
2
]，求cos2x0的值．
分析：（1）根據三角函數的誘導公式、二倍角公式與輔助角公式，化簡得f(x)=2sin(2x+
π
6
)，從而可得f（x）的最小正周期T=π，再利用正弦函數的圖象與性質，即可算出f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的最大值和最小值；
（2）由f(x0)=
6
5
，利用f（x）的表達式解出sin(2x0+
π
6
)=
3
5
，根據同角三角函數的關系算出cos(2x0+
π
6
)=-
4
5
，再進行配角：2x0=(2x0+
π
6
)-
π
6
，利用兩角和的余弦公式加以計算，可得cos2x0的值．
解答：解：（1）∵sin（x-3π）=-sinx，sin（x-
π
2
）=-cosx，sin（x+
5π
2
）=cosx，
∴f(x)=
3
(2sinxcosx)+(2cos2x-1)
=
3
sin2x+cos2x=2(sin2x•
3
2
+cos2x•
1
2
)=2sin(2x+
π
6
)
由此可得f（x）的最小正周期為T=
2π
2
=π．
∵當x∈[0，
π
2
]時，2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，
∴sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
，1]，
因此，當2x+
π
6
=
π
2
即x=
π
6
時，f（x）的最大值為2；
當2x+
π
6
=
7π
6
即x=
π
2
時，f（x）的最小值為-1．
（2）由（1）可知f(x0)=2sin(2x0+
π
6
)，
∵f(x0)=
6
5
，
∴sin(2x0+
π
6
)=
3
5

由x0∈[
π
4
，
π
2
]，可得2x0+
π
6
∈[
2π
3
，
7π
6
]，
∴cos(2x0+
π
6
)=-
1-sin2(2x0+
π
6
)
=-
4
5

可得cos2x0=cos[(2x0+
π
6
)-
π
6
]=cos(2x0+
π
6
)cos
π
6
+sin(2x0+
π
6
)sin
π
6
=
3-4
3
10
．
點評：本題將函數f（x）的表達式化簡，求函數的周期與最值，并依此求特殊的三角函數值．著重考查了三角函數的誘導公式、三角恒等變換公式、三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．
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已知函數f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數f（x）在（-1，+∞）上為減函數；
（3）是否存在負數x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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已知函數f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數x均成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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