Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

，x∈[-1，1]．
（Ⅰ）判斷函數(shù)的奇偶性；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)；
（Ⅱ）解不等式f(x-

1

2

)+f(

1

4

-2x)＜0．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，再計算f（-x），與f（x）比較，即可得到奇偶性；
（Ⅱ）運用單調(diào)性的定義，注意作差、變形、定符號、下結(jié)論等步驟；
（Ⅲ）先由奇函數(shù)的定義，再由單調(diào)遞增，即可得到不等式組

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤2x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜2x- 1 4

，解出它們即可．

解答： （Ⅰ）解：定義域為[-1，1]關(guān)于原點對稱，
f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x），
則f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）證明：設(shè)-1≤m＜n≤1，
則f（m）-f（n）=

2m-1

2m+1

-

2n-1

2n+1

=

2(2m-2n)

(2m+1)(2n+1)

由于-1≤m＜n≤1，則0＜2^m＜2ⁿ，
即有2^m-2ⁿ＜0，2^m+1＞0，2ⁿ+1＞0，
則有f（m）-f（n）＜0，
則函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)；
（Ⅲ）解：不等式f(x-

1

2

)+f(

1

4

-2x)＜0，
即為f（x-

1

2

）＜-f（

1

4

-2x），
由f（-x）=-f（x），可得f（x-

1

2

）＜f（2x-

1

4

），
再由函數(shù)f（x）在[-1，1]內(nèi)為增函數(shù)，
則有

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤2x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜2x- 1 4

，即有

- 1 2 ≤x≤ 3 2 - 3 8 ≤x≤ 5 8 x＞- 1 4

，
解得，-

1

4

＜x≤

5

8

，
則解集為：（-

1

4

，

5

8

]．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)的單調(diào)性的證明，注意運用定義，考查奇偶性和單調(diào)性的運用，解不等式，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．