已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2-bx(a，b∈R)
（1）若x1=-2和x2=4為函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a2+b2的最小值．
（1）∵f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2-bx∴f'（x）=x2+ax-b（2分）
又x1=-2和x2=4為函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)
∴-2，4是方程x2+ax-b=0的兩個(gè)根
則
-a=-2+4
-b=(-2)×4
解得
a=-2
b=8

∴f(x)=
1
3
x3-x2-8x（4分）
（2）∵f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)∴f'（x）=x2+ax-b≤0在區(qū)間[-1，3]上恒成立．
∴
f′(-1)≤0
f′(3)≤0
?
1-a-b≤0
a+3a-b≤0
?
a+b≥1
3a-b≤-9
?(6分)
作出
a+b≥1
3a-b≤-1
的可行域
聯(lián)立
a+b=1
3a-b=-9
得交點(diǎn)A(-2，3)?(10分)
∴a2+b2的最小值為A到原點(diǎn)O的距離的平方，即（-2）2+32=13
∴a2+b2的最小值為13（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個(gè)函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時(shí)滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案