Question

若函數(shù)f（x）=x³-3a²x+2（a＞0）有三個(gè)零點(diǎn)，則正數(shù)a的范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：函數(shù)y=f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=f（x）與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)的極大值為正，極小值為負(fù)，利用導(dǎo)數(shù)法構(gòu)造關(guān)于a的不等式，可得正數(shù)a的范圍．

解答： 解：∵f（x）=x³-3a²x+2，
∴f'（x）=3x²-3a²，
令f'（x）=0，
解得：x₁=-a，x₂=a，
∵在（-∞，-a）上，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
在（-a，a）上，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
在（a，+∞）上，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
若函數(shù)y=f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=f（x）與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，
于是

f(-a)＞0⇒2a3+2＞0⇒a＞-1 f(a)＜0⇒-2a3+2＜0⇒a＞1

，
又a＞0，
綜上：正數(shù)a的取值范圍是：a＞1，
故答案為：a＞1

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極大值為正，極小值為負(fù)，是解答的關(guān)鍵．