Question

已知A，B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M，N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AM，BN的斜率分別為k₁，k₂（k₁k₂≠0），若橢圓的離心率為

3

2

，則|k₁|+|k₂|的最小值為（　�。�

• A．1
• B．

  2

• C．

  3

• D．2

Answer 1

分析：先假設(shè)出點(diǎn)M，N，A，B的坐標(biāo)，然后表示出兩斜率的關(guān)系，再由|k₁|+|k₂|的最小值為1運(yùn)用基本不等式的知識(shí)可得到當(dāng)x₀=0時(shí)可取到最小值，進(jìn)而找到a，b，c的關(guān)系，進(jìn)而可求得離心率的值．

解答：解：設(shè)M（t，s），N（t，-s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（-a，0），B（a，0），
k₁=

s

t+a

，k₂=-

s

t-a

|k₁|+|k₂|=|

s

t+a

|+|-

s

t-a

|≥2

| s t+a || s a-t |

=2

s2 a2-t2

當(dāng)且僅當(dāng)

s

t+a

=-

s

t-a

，即t=0時(shí)等號(hào)成立．
因?yàn)锳，B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M，N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，M（t，s），N（t，-s），即s=b
∴|k₁|+|k₂|的最小值為

2b

a

，
∵橢圓的離心率為

3

2

，∴

c

a

=

3

2

，
∴a=2b
∴|k₁|+|k₂|的最小值為1
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用．圓錐曲線是高考的重點(diǎn)問(wèn)題，基本不等式在解決最值時(shí)有重要作用，所以這兩方面的知識(shí)都很重要，一定要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．