Question

在正四面體P-ABC中，M為△ABC內(nèi)（含邊界）一動點，且點M到三個側(cè)面PAB、PBC、PCA的距離成等差數(shù)列，則點M的軌跡是（ ）
A．一條線段
B．橢圓的一部分
C．雙曲線的一部分
D．拋物線的一部分

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)點M到三個側(cè)面PAB、PBC、PCA的距離為d-a，d，d+a，正四面體P-ABC中各個面的面積為S，體積為V，用等體積法可d為常數(shù)且等于高h(yuǎn)的三分之一，再作一個平面α使α平行于面SBC且它們的面面距離為d，則α與面ABC的交線即為點M的軌跡，從而解決問題．
解答：解：設(shè)點M到三個側(cè)面PAB、PBC、PCA的距離為d-a，d，d+a 
正四面體P-ABC中各個面的面積為S，體積為V，
用等體積法可知：
S（d-a+d+d+a ）=3V
所以d為常數(shù)且等于高h(yuǎn)的三分之一，
作一個平面α使α平行于面SBC且它們的面面距離為d
則α與面ABC的交線即為點M的軌跡
易知p的軌跡為一條線段．
故選A．
點評：本小題主要考查等差數(shù)列、體積法的應(yīng)用、軌跡方程等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．