Question

當(dāng)x∈[0，1]時，求函數(shù)f（x）=x²+（2-6a）x+3a²的最小值．

Answer 1

分析：先求得函數(shù)f（x）=x²+（2-6a）x+3a²的對稱軸，為x=3a-1，由于此問題是一個區(qū)間定軸動的問題，故分類討論函數(shù)的最小值

解答：解：該函數(shù)的對稱軸是x=3a-1，
①當(dāng)3a-1＜0，即a＜

1

3

時，f_min（x）=f（0）=3a²；
②當(dāng)3a-1＞1，即a＞

2

3

時，f_min（x）=f（1）=3a²-6a+3；
③當(dāng)0≤3a-1≤1，即

1

3

≤a≤

2

3

時，f_min（x）=f（3a-1）=-6a²+6a-1．
綜上所述，函數(shù)的最小值是：當(dāng)a＜

1

3

時，f_min（x）=f（0）=3a²，當(dāng)a＞

2

3

時，f_min（x）=f（1）=3a²-6a+3；當(dāng)

1

3

≤a≤

2

3

時，f_min（x）=f（3a-1）=-6a²+6a-1．

點評：本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對函數(shù)在區(qū)間[0，1]的最值進(jìn)行研究得出函數(shù)的最小值，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題分為兩類，一類是區(qū)間定軸動的問題，如本題，另一類是區(qū)間動軸定的問題，兩類問題求共性都是要分類討論求最值，此問題是高考解題的一個熱點，很多求最值的問題最后都?xì)w結(jié)為二次函數(shù)的最值，對此類問題求最值的規(guī)律要認(rèn)真總結(jié)，熟記于心．