Question

已知函數(shù)f（x）=7sinxcosx+7sin²x-，x∈R．
（Ⅰ）若f（x）的單調(diào)區(qū)間（用開區(qū)間表示）；
（Ⅱ）若f（）=1+4，f（）=2，求sin（）的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為7sin（2x-）+1，令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求出增區(qū)間，由 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，求出減區(qū)間．
（Ⅱ）由 f（）=1+4，求得cosa=．由f（）=2，求得sina=-．可得a為第三象限角，故 是第二或第四象限角．分類求出cos 和sin的值，利用兩角差的正弦公式求出sin（）的值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得：函數(shù)f（x）=7sinxcosx+7sin²x-=sin2x+7×- 
=7（sin2x-cos2x）+1=7sin（2x-）+1．
令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
令 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+≤x≤kπ+]，k∈z．
（Ⅱ）∵f（）=1+4，
∴7sin[2（-）-]+1=7sin（a-）+1=-7cosa+1=1+4，
∴cosa=．
∵f（）=2，∴7sin[2（）-]+1=7sin[a-π]+1=-7sina+1=2，
∴sina=-．
故a為第三象限角，且 2kπ+π＜a＜2kπ+，k∈z，故 kπ+＜＜kπ+，k∈z．
故 是第二或第四象限角．
當(dāng) 是第二象限角時(shí)，sin ===，
cos =-=-=-． 
sin（）=sin  cos-cossin=×-（ ）×=．
當(dāng) 是第四象限角時(shí)，sin =-=-=-，
cos ===． 
sin（）=sin  cos-cossin=-×-×=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．