Question

（2009•寧波模擬）設(shè)f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=asin

πx

2

+5-2a（a＞0），若對(duì)于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，則a的取值范圍是

[

5

2

，4]

．

Answer 1

分析：先對(duì)函數(shù)f（x）分x=0和x≠0分別求函數(shù)值，綜合可得其值域，同樣求出函數(shù)g（x）的值域，把兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相比較即可求出a的取值范圍．

解答：解：因?yàn)閒（x）=

2x2

x+1

，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，
當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）=

2

1 x +  1 x2

=

2

( 1 x + 1 2 ) 2- 1 4

，由0＜x≤1，
∴0＜f（x）≤1．
故0≤f（x）≤1
又因?yàn)間（x）=asin

πx

2

+5-2a（a＞0），且g（0）=5-2a，g（1）=5-a．
故5-2a≤g（x）≤5-a．
所以須滿足

5-2a≤0 5-a≥1

⇒

5

2

≤a≤4．
故答案為：[

5

2

，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)恒成立問題以及函數(shù)值域的求法，是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，屬于中檔題．