已知函數(shù),(x>0).

(Ⅰ)當0<a<b,且f(a)=f(b)時,求證:ab>1;

(Ⅱ)是否存在實數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域、值域都是[a,b],若存在,則求出a,b的值,若不存在,請說明理由.

(Ⅲ)若存在實數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域為[a,b]時,值域為[ma,mb]

(m≠0),求m的取值范圍.

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)∵x>0,∴

  ∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù),在上是增函數(shù).

  由0<a<b,且f(a)=f(b),

  可得0<a<1<b和

  即

  ∴2ab=a+b>.              3分

  故,即ab>1.              4分

  (Ⅱ)不存在滿足條件的實數(shù)a,b.

  若存在滿足條件的實數(shù)a,b,使得函數(shù)y=的定義域、值域都是[a,b],則a>0.

  

  當時,在(0,1)上為減函數(shù).

  故

  解得a=b.

  故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.            6分

  當時,上是增函數(shù).

  故

  此時a,b是方程的根,此方程無實根.

  故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.            8分

  當時,

  由于,而,

  故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.

  綜上可知,不存在適合條件的實數(shù)a,b.            10分

  (Ⅲ)若存在實數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域為[a,b]時,值域為[ma,mb].

  則a>0,m>0.

  當時,由于f(x)在(0,1)上是減函數(shù),故.此時刻得a,b異號,不符合題意,所以a,b不存在.

  當時,由(Ⅱ)知0在值域內,值域不可能是[ma,mb],所以a,b不存在.

  故只有

  ∵上是增函數(shù),

  ∴

  b是方程的兩個根.

  即關于x的方程有兩個大于1的實根.        12分

  設這兩個根為,

  則,·

  ∴

  解得

  故m的取值范圍是.                14分


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(III)若存在實數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域為 [a,b]時,值域為 [ma,mb]

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