已知中心在原點的橢圓的一個焦點為（0，
2
），且過點A(1，
2
)，過A作傾斜角互補的兩條直線，它們與橢圓的另一個交點分別為點B和點C．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求證：直線BC的斜率為定值，并求這個定值．
（3）求三角形ABC的面積最大值．
分析：（1）由題意得c=
2
，再由由橢圓的定義求出a=2，b=
2
，從而得到橢圓的方程．
（2）設AB的斜率為k，則AC的斜率為-k，寫出AB的方程與橢圓聯(lián)立求出B，C坐標得到SC的斜率化簡即可
證明直線BC的斜率為定值．
（3）利用弦長公式求出BC 的長，利用得到直線的距離公式求出A到BC的距離，即可求三角形ABC的面積最大值．
解答：解：（1）由題意可知c=
2
，由橢圓的定義求出a=2，所以b=
2
，所以橢圓的方程為：
x2
2
+
y2
4
=1
（2）由題意得設AB的斜率為k，則AC的斜率為-k
所以
y-
2
=k(x-1)
2x2+y2=4
代入得x1+x2=
2k2-2
2
k
2+k2
，
又∵x1=1∴xB=
k2-2
2
k-2
k2+2

同理xC=
k2+2
2
k-2
k2+2
，kBC=
yB-yC
xB-xC
=
kxB-k+
2
+kxC-k-
2
xB-xC
=
2
為定值
（3）設BC方程為y=
2
x+m
y=
2
x+m
x2
2
+
y2
4
=1

得4x2+2
2
mx+m2-4=0
得|BC|=
3
.
4-
1
2
m2
A到BC的距離為d=
|m|
3

所以S△=
1
2
|BC|•d=
1
2
|m|
4-
1
2
m2
=
1
2
m2(4-
1
2
m2)
=
2
4
m2(8-m2)
≤
2

當m2=8-m2時，即m2=4時“=”成立，此時△＞0成立．
點評：本題是中檔題，考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系，三角形面積求法，最大值的求法，考查計算能力，轉化思想．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知中心在原點的橢圓C的一個焦點F（4，0），長軸端點到較近焦點的距離為1，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）為橢圓上不同的兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若x1+x2=8，在x軸上是否存在一點D，使|
DA
|=|
DB
|若存在，求出D點的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣東）已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F（1，0），離心率等于
1
2
，則C的方程是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知中心在原點的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的焦點為F1（0，3），M（x，4）（x＞0）橢圓C上一點，△MOF1的面積為
3
2
．
（1）求橢圓C的方程．
（2）是否存在平行于OM的直線l，使得直線l與橢圓C相較于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點？若存在，求出直線l的方程，請說明理由．．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F（
15
，0），直線y=x與橢圓的一個交點的橫坐標為2，則橢圓方程為（　�。�
A、
x2
16
+y2=1
B、x2+
y2
16
=1
C、
x2
20
+
y2
5
=1
D、
x2
5
+
y2
20
=1

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